《中国古代数学思想》读书笔记（9）

2015-10-05 17:45:37 | 来源：新浪微博 | 投稿：中科大胡不归 | 编辑：小柯

原标题：《中国古代数学思想》读书笔记（9）

《中国古代数学思想》读书笔记（9）

作者：@中科大胡不归

【作者按：《中国古代数学思想》，孙宏安著，大连理工大学出版社2008年4月第一版，编入《数学科学文化理念传播丛书》。上一篇见http://weibo.com/p/1001603894535011851721。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603890377051472262。】

第三章：数学思想的系统化表述——《九章算术》。本篇记录此章的第4节。

3.4 算法化思想——数学内容的算法化

1、算法例说

以方田章的约分术为例，原文是：

“又有九十一分之四十九。问约之得几何？

答曰：十三分之七。

约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

（译文：有一个数49 /91，问约分得多少？答：得7 /13。

约分术：能取得分子、分母的一半的，就先取它们的一半作分子和分母。不能都取得一半的，就把表示分子和分母的算筹分开放置，然后用大数减去小数，辗转相减，直到两边的数相等，就用这个相等的数分别约分子和分母。）按：这就是求最大公约数的辗转相除法，《几何原本》也给出了这个方法。在这里的表述是辗转相减，跟辗转相除是等价的，只是多做一些操作。

按这一术针对例题所做的计算如下：

左边右边

91 49

91 - 49 = 42 49 - 42 = 7

42 - 7 = 35

28 - 7 = 21

21 - 7 = 14

14 - 7 = 7 7

最后得出的两边相等的数（7）即最大公约数。这个术用现代算法观念来考察，可见：

1，它是一个严格一义的规定，不可能有歧义的理解；

2，每一步都知道下一步怎么办；

3，能解决求两个数的最大公约数这一类问题；

4，能在有限步内得出结果。

这是一个能行可计算的算法。《九章算术》中的多数术都具有这种性质。

2、算法化的意义

算法化思想是适合于万物皆数的数学观和实用性数学体系的。按：这话说的，有什么东西是算法化思想不适合的？在任何条件下，算法都是好东西。

中国古代的数学理论、数学成果大都用算法表述，数学的发展主要表现为算法的改进和扩展。吴文俊对《九章算术》有极高的评价，他说“由算法化思想，决定了中国古代数学具有两大特色，一是它的构造性，二是它的机械性”，“是可以直接施用之于现代计算机的数学。”“我国传统数学在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系，这与西方数学以欧几里得《几何原本》为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对。在数学发展的历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长，交替成为数学发展中的主流。肇始于我国的这种机械化体系，在经过明代以来近几百年的相对消沉后，势必重新登上历史舞台。《九章》与《刘注》所贯穿的机械化思想，不仅曾深刻影响了数学的历史进程，而且对数学的现状也正在发扬它日益显著的影响。它在进入21世纪后在数学中的地位，几乎可以预卜。”按：吴文俊有一点说的对，算法化与公理化两种思想在数学史上曾多次互为消长，交替成为主流。但是他把算法化的功劳全都归于中国，这就大错特错了。实际上大部分算法方面的工作也是西方数学家做的。《几何原本》里就有辗转相除法。尺规作图是明明白白的算法问题，西方数学家对此作出了巨大的努力，中国数学家却完全没想过。阿基米德（求面积体积）、托勒玫（三角术）、艾伯蒂（透视法）、韦达（解高次方程）、卡丹（复数）、沃利斯（连分数）、纳皮尔（对数）、巴贝奇、帕斯卡和莱布尼茨（自动计算机）、费马和笛卡尔（解析几何）、牛顿（微积分和无穷级数）、图灵、冯·诺依曼、哥德尔（现代计算机）……这些人谁受过《九章算术》的启发？他们有没有听说过《九章算术》都是问题咧。反过来，哪个学数学的人没听说过《几何原本》？谁没受过《几何原本》的启发？《几何原本》给人的不止是启发，而且是震撼！如果说算法化思想在数学以后的发展中会发挥越来越大的作用，那是可以接受的。如果说人们对《九章算术》的评价也会越来越高，也可以接受。但如果把《九章算术》当成算法化思想的唯一来源，把《九章算术》当成和《几何原本》同等重要，把中国古代数学当成和古希腊数学同等重要，那就是拉大旗作虎皮，贻笑大方了。

3、“方田”章算法分析

列表分析一下方田章的21个术。在表中，用公式对术进行解释。术与公式有相同点，也有差别。公式只提供了有关的量之间的关系，没有列出具体的运算程序，一般地认为这种程序是已知的了。按：这岂不是公式的优点？留下了多种运算程序的可能性，更重要的是便于公式变形和推演。例如用a2 + b2 = c2这一个公式表示的勾股定理，《九章算术》勾股章里的术却是如此繁琐：“勾股各自乘，并，而开方除之，即弦。又股自乘，以减弦自乘，其馀开方除之，即勾。又勾自乘，以减弦自乘，其馀开方除之，即股。”请问，不写成公式，多少读者能看出这三条是等价的，只要一条就够了？

术则由怎样运算的详细程序构成，与现代意义的算法更接近。如环田术，公式是S = (C + c) (R - r) /2，实际的操作步骤则是“并中外周而半之，以径乘之为积步”。有的算法不能翻译成简单的公式，如约分术、平分术等。