原标题：《中国古代数学思想》读书笔记（34）
《中国古代数学思想》读书笔记（34）作者：@中科大胡不归
【作者按：《中国古代数学思想》，孙宏安着，大连理工大学出版社2008年4月第一版，编入《数学科学文化理念传播丛书》。上一篇见http://weibo.com/p/1001603913741405136892。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五 的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603912791147865819。】
第六章：数学思想的异彩——宋元数学高峰。本篇记录此章第2节第3部分的（4）。
6.2 宋元数学思想的特点
（4）筹算思想的发展
<1>“位置”代数思想
前面指出，筹算的关键在于十进位值制记数法和分离系数法，分离系数法使得中国数学用算筹的排布位置表示数学意义，如未知数的不同次数、线性方程组的不同未知数和常数。由于位置的这种用途，使得中国古代数学在没有使用任何数学符号——包括没有使用最基础的等号、加减乘除四则运算符号等在内——的情况下取得了一系列非凡的成果。按：怎幺看着像高级黑……何不反过来问：取得了这幺多非凡的成果，为什幺没发展出基础的数学符号？
到了宋元时期，人们把“位置”代数中位置的功能开发使用到了极致，增乘开方术和正负开方术的运筹就表现出这一点。朱世杰的四元术则是运筹思想的另一个杰作。
朱世杰的传世名着《四元玉鉴》的主要成就是四元术，即四元高次方程组的建立和求解方法。在他之前，从李冶天元术开始，有李德载《两仪群英集臻》讨论二元术，刘大鉴《乾坤括囊》讨论三元术。在此基础上，朱世杰“演数有年，探三才之赜，索九章之隐，按天、地、人、物立成四元”（《四元玉鉴》后序）。
《四元玉鉴》共24门288问，所有题问都与方程或方程组有关。题目顺序大体是先方程后方程组，先线性方程组后高次方程组。
朱世杰创造了一套完整的消未知数方法，称为四元消法，是朱世杰方程理论的核心。他通过方程组中不同方程的配合，依次消掉未知数，化四元式为一元式，即一元高次方程。三元式和四元式的消法称为“剔而消之”，即把全式剔分为二相消。二元式的消法称为“互隐通分相消”。这种方法在世界上长期处于领先地位，直到18世纪，法国数学家贝祖（E. Bezoub，1730~1783）提出一般的高次方程组解法，才更好地解决了这个问题。按：中国科技史给人的印象就是龟兔赛跑，中国这只兔子一开始遥遥领先，但后来却停着不动甚至倒退了，然后在一个个领域被西方超过。显然最值得关心的是我们为什幺被人家超过，而不是沾沾自喜比人家领先了多少年。
《四元玉鉴》开始讨论无理方程，是朱世杰的另一个方程论成就。
《四元玉鉴》含二元问题36个，三元问题13个，四元问题7个。虽然用到四元术的题目不多，但它们却代表了全书，也代表了当时世界上方程组理论的最高水平。“四象朝元”第6题由四元方程组导出的14次方程
2006x14 - 11112x13 + 22292x12 - 19168x11+ 2030x10 + 12637x9 - 8795x8 - 8799x7+ 19112x6 - 9008x5 - 384x4 + 1792x3- 640x2 - 768x + 1152 = 0
是中国古代数学史上次数最高的方程（解得x = 2）。按：厉害！在朱世杰之后300年，法国数学家韦达（1540—1603）解过一个45次的方程（见我的《古今数学思想》读书笔记第44篇，http://weibo.com/p/1001603880750322732034）。这个问题等价于用sin A表示sin 45A，并求出sin A。韦达知道这个问题可解，只要把这个方程分成一个5次的方程和两个3次的方程，而这些方程他很快地解出。他给出了23个正根，但忽略了负根。在他的《回答》（Responsum，1595）一书中他解释了他的解法。
<2>“运筹”依赖思想
《九章算术》的算法因为比较简单直观，只用文字表述加上教师的指导就可以理解，所以用不到筹式图来表示运筹过程。《算经十书》都没有运用筹式表述运筹过程。《孙子算经》是以描述算筹摆法和运筹方法而闻名于世的，不过其中也没有画图表示运筹过程。宋元数学算法的复杂性使得离开就筹式的直观就难以正确理解算法了，所以大多数数学着作都标出筹式表示运筹的阶段性结果，即运筹的部分过程。算法作为算筹的操作运持方法，对筹式、运筹动作有着特别的依赖性。按：单看这一段不容易理解作者想表达什幺，看了下一章就会明白，作者是想把筹算被珠算取代解释为宋元之后中国数学水平陡然下降的原因之一。
<3>数学教育思想
对运筹动作的依赖性可以通过筹式图得到部分的解决，不过筹式图只是运筹的阶段性结果，而对运筹动作的依赖具有一种对操作者自身的体验依赖的特点，因此运筹更具有个人体悟的性质。这样运筹的学习就要像其他注重于体悟的事物一样——这样的事物多半为技艺——所以在中国古代把数学看作一“艺”，传承需要更多的师傅教徒弟式的教育。按：换个角度看，这说明中国古代数学的可传递性远远低于《几何原本》，前者对具体工具的依赖太重，而后者的语言几乎是普世的，任何地方、任何背景的人都能看懂。这又是实用体系不如逻辑体系的一个重要之处。所以现在我们的平面几何讲法仍然是《几何原本》的体系，而中国古代数学的讲法早已进入了博物馆，只有专家才感兴趣了。
这是中国古代特别重视数学教育，很早就进行了非常独特的数学专科学校教育的原因之一。这也能很好地说明，中国古代历算动辄“家学渊源”。像祖冲之祖孙5代都是以精通数学和历法闻名于世。一行云游天下到处拜师学习数学，也是一个很好的例子。宋代的着名数学家，多有设帐授徒之举。杨辉的经历不详，不知是否教过数学。但他的《乘除通变本末》是不折不扣的数学入门教科书，其中的“习算纲目”甚至可以看作一份数学教学大纲。李冶曾在封龙山聚徒授课是其传记中有记载的，至于朱世杰更是一个专门从事教学的人士。按秦九韶《数书九章》的序，他是跟从太史局的前官员学过数学，又受过“隐君子”的数学教育。这都充分表明数学教育对中国古代数学非凡的重要性。
宋代官方对数学教育也非常重视，也是在国子监设算学，发布《崇宁算学令》（1107），公布远比唐代算学严格的教学计划和学校规模，并且提高了毕业生的待遇——毕业可以直接授以官职，不用再参加科举考试了。同时也颁布国定教材，也叫《算经十书》，与唐代的《算经十书》比较少有变化，并且刻印了这十部书。此举对这些书的流传起了非同小可的作用，至今我们能看到的最早的《算经十书》版本就是南宋鲍澣（huan4，同“浣”）之根据崇宁算书翻印的本子。
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