《中国古代数学思想》读书笔记（33）

2015-11-27 10:45:18 | 来源：新浪微博 | 投稿：中科大胡不归 | 编辑：小柯

原标题：《中国古代数学思想》读书笔记（33）

《中国古代数学思想》读书笔记（33）

作者：@中科大胡不归

【作者按：《中国古代数学思想》，孙宏安着，大连理工大学出版社2008年4月第一版，编入《数学科学文化理念传播丛书》。上一篇见http://weibo.com/p/1001603912997683778654。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603912791147865819。】

第六章：数学思想的异彩——宋元数学高峰。本篇记录此章第2节第3部分（2）的<3>和<4>和（3）。

6.2 宋元数学思想的特点

3、对传统数学思想的继承和发展

（2）数学实用思想

<3>会圆术和插值法

会圆术是沈括在《梦溪笔谈》中的杰出创造，给出了弓形的弦、矢和弧长之间的近似关系，是从《九章算术》方田章的弧田术发展而成的。

沈括给出的求弧长的近似公式：

弧长 = c + 2v2 /d

其中d为弧所在的圆径，c为弧田的弦，v为弧田的矢量。按：准确的计算方法是，设图中弦的左端点是A，弦的中点（即图中c和v的十字交叉点）是C，圆心是O，圆的半径为r = d /2。则ACO构成一个直角三角形，AC = c /2，CO = r - v, AO = r。记角AOC为θ，则θ = arcsin (c /2r)= arccos [(r - v) /r] = arctg {c /[2(r - v)}。用以上任何一个三角关系求出θ，就得到弧长2rθ。在三角形ACO中，c2 /4 + (r - v)2 = r2，弦、矢和径之间并不独立。沈括的公式却同时用到三者，这是一个大缺点。

宋元的插值法以郭守敬的三次插值法为新成果。他在刘焯和一行的二次插值法的基础上开创了三次插值法，以此为模型计算自己的日躔表，从而编订出中国古代最有名的也是在西方数学传入中国以前一直使用的历法——《授时历》。按：明朝一直沿用元朝的授时历，直到误差实在大得没办法了，才不得不让徐光启在传教士的帮助下制定新历法。

朱世杰探讨了四次插值法，而且发现了垛积术与内插法的内在联系，在“如象招数”最后一题中利用垛积术导出四次内插公式（四次差为一非零常数，五次差为零）。

<4>弧矢割圆术

郭守敬创建的另一个数学模型是一个球面三角模型——弧矢割圆术。

如图，设F点为天球北极，O是地上的观测点。弧ACE是天球赤道的象限弧（大圆的四分之一），弧ABD是黄道的象限弧。A是春分点，D是夏至点。弧FBC是通过B的时圈。角A（角BAC）是黄赤交角，可用弧ED度量。现已知黄道上某天体B的黄径弧AB = c，欲求B的赤经弧AC = b和赤纬弧CB = a。黄赤交角A可由实测定出，C是直角。按：黄赤交角等于23.5°。

解球面直角三角形ABC，有

sin a = sin c·sin A。按：古希腊数学家托勒玫（死于168年）在一千多年前得到了相同的结果。见我的《古今数学思想》读书笔记第17篇（http://weibo.com/p/1001603872430979686370）。

经过变换，郭守敬得出

sin b = tan c cos A / sqrt(1 + tan2c cos2A) = sin ccos A / sqrt(cos2c + sin2c cos2A)

这是郭守敬最后使用的公式。这是一个非常了不起的数学首创，作为一个数学模型用到《授时历》的编订中。按：确实很了不起，但不是首创。作者不止一次草率地宣布中国数学家的成果是世界最早，也不仔细调研一下别国的数学史，这种学风令人遗憾。

（3）算法化思想

宋元数学几乎所有的成就，与《九章算术》等一样，都是以算法表述出来的。作一列举。

以上这些中国古代数学的重大成果除了勾股圆方图注和纵横图外都是用算法表述的，而且越往后来算法越精深复杂。按：由于缺少逻辑体系证明，精深复杂的算法很快就看不懂了。以至于《几何原本》1607年传入后的200多年间，中国数学家的主要工作是重新发现与理解从刘徽到宋元数学家的成就……

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