《中国古代数学思想》读书笔记（29）

2015-11-18 11:30:22 | 来源：新浪微博 | 投稿：中科大胡不归 | 编辑：小柯

原标题：《中国古代数学思想》读书笔记（29）

《中国古代数学思想》读书笔记（29）

作者：@中科大胡不归

【作者按：《中国古代数学思想》，孙宏安着，大连理工大学出版社2008年4月第一版，编入《数学科学文化理念传播丛书》。上一篇见http://weibo.com/p/1001603909800588117315。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603906501717657445。】

第六章：数学思想的异彩——宋元数学高峰。本篇记录此章第1节第3部分的（4）和第2节第1部分的（1）。

6.1 宋元数学成果点滴

3、秦九韶的数学成果

（4）“三斜求积”——秦九韶公式

《数书九章》第5卷“三斜求积”：

“问：沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？

答曰：三百一十五顷。

术曰：以小斜幂并大斜幂，减中斜幂。余，半之。同乘于上。以小斜幂乘大斜幂，减上。余，四约之，为实。开平方，得积。”

设大斜为a，小斜为b，中斜为c，则秦九韶的术就是

Δ = sqrt ({a2b2 - [(a2 + b2 -c2) /2]2} /4)

关于已知三边求三角形的面积，古希腊有海伦（Heron，公元250？）公式

Δ = sqrt [s (s - a) (s - b) (s - c)]，

其中s = (a + b + c) /2。可以证明这两个公式是等价的。按：确实等价，但海伦公式的对称性比秦九韶公式高得多，容易记忆，而且揭示出a、b、c地位相同。光看秦九韶公式，肯定想不到a、b、c的地位是相同的，可以随便把哪条边用哪个符号表示。事实上，看术文会以为a和b必须分别是最长的边（大斜）和最短的边（小斜），或者反过来，小斜和大斜。如果你向秦九韶指出可以用a和b分别代表小斜和中斜，即术文第一句变成“以小斜幂并中斜幂，减大斜幂”，那幺这会是一个新的术，让秦九韶大吃一惊。从美学的角度来看，海伦公式非常优美，秦九韶公式比较粗糙，反映出两人对三角形面积问题的本质认识的深浅。

只需证明两个公式中根号中的式子相等即可。

{a2b2 - [(a2 + b2 - c2)/2]2} /4

= [a2b2 - (a4 + b4 + c4+ 2a2b2 - 2a2c2 - 2b2c2)/4] /4

= [2(b2c2 + a2c2 + a2b2)- (a4 + b4 + c4)] /16

= [4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2]/16

【按：本书作者孙宏安的证明怎幺会如此笨拙？！从第一式到第四式只需要把分子分母都乘以4即可得到，居然要展开成中间两式再缩回去，绕一个毫无用处的大圈子。脑子短路了？】

= [2ab + (a2 + b2 - c2)] [2ab - (a2+ b2 - c2)] /16

= (a2 + b2 - c2 + 2ab) (c2 - b2- a2 + 2ab) /16

= [(a + b)2 - c2] [c2 - (b - a)2]/16

= (a + b+ c) (b + c - a) (c + a -b) (a + b - c) /16

= [(a + b+ c) /2] [(a + b+ c) /2 - a] [(a + b+ c) /2 - b] [(a + b+ c) /2 -c]

= s (s - a) (s - b) (s - c)

得证。比较起来海伦公式更具理论形式，而秦九韶公式是一种算法程序，特别是其原来的表述，有利于设计实际的计算应用。按：简直无语了。海伦公式有什幺不利于设计计算应用的？先算出s = (a + b + c) /2，再算出(s - a)、(s - b)、(s - c)，把所有这四个数乘起来，然后开平方，这个算法还不够简洁明了吗？难道不比秦九韶公式更好用？再结合上文在证明中表现出的笨拙，严重怀疑作者的数学水平！以这种水平评价别人的数学成果，不靠谱程度可想而知。

6.2 宋元数学思想的特点

宋元数学思想是在汉唐数学思想的基础上发展而来的，不仅贾宪、杨辉、秦九韶的数学着作都称为九章，前二者甚至就是《九章》的问题编集，而且更多的数学问题都来源于《九章》，如李冶、郭守敬等人的成果。但是宋元数学思想又有自己的特点。正是这些特点使宋元数学成为中国古代数学发展的高峰。这个特点就是：数学思想向理论化、抽象化大步迈进。其表现一是表述体系的逻辑化，二是数学内容的抽象化。按：很好，很好，作者认为理论化、抽象化是进步。那幺作者是否承认，中国数学的理论化、抽象化程度，即使在宋元时期，也远远没有达到《几何原本》的水平？如果承认这一点，那幺前面把《九章算术》和《几何原本》等量齐观的勇气，又是从哪来的？无知者无畏吗？

1、表述体系的逻辑化

（1）《数书九章》

《数书九章》的内容分为九类。从宏观结构上看，仍然与《九章算术》相似，形式上是一个实用性体系，按数学的应用领域（2~9类）和常用数学模型（1类）分类。

但是从微观结构来看，《数书九章》则有与《九章算术》十分不同的特点，尤其是第一类大衍类的微观结构更是如此，有三方面前所未有的特点。

一，采取了演绎推理的结构模式。在第一问中给出了大衍总数术，并对它进行了证明。

二，在证明大衍总数术时，定义了一整套数学概念：问数、定数、定母、衍母、衍数、奇数、乘数、用数、余数、总数等。它们之间有着严格的逻辑关系。秦九韶还对问数进行了分类，依赖于对数的种属关系的逻辑理解，还指出它们之间的转化。

三，收入的问题基本上是理论问题。如第一问“蓍卦发微”，即试图用大衍总数术揭示《周易》中占筮的方法，并解释为什幺“大衍之数五十，其用四十有九”。

大衍术的主要用途似乎是历法编纂中的求上元积年。《数书九章》中有两问，大衍类的“古历会积”和天时类的“治历演纪”，就是求上元积年的。从汉代刘歆起，编历就要求上元积年。刘歆之后又编订了数十部有上元积年的历法。秦九韶对其方法做一次理论上的总结和提高，尤其重要的是把问题数学化、结果算法化。但在实际生活中，秦九韶的时代，在历法上人为地加上一个上元积年的尝试已接近尾声了。在秦九韶之间的1199年，杨忠辅编《统天历》，就试图以实测历元代替上元积年，结果取了一个3830年的上元积年。1280年，郭守敬等人的《授时历》就取消了上元积年。因此把大衍术用于实际编历的可能性微乎其微。秦九韶不是为编历的需要研究出大衍术，而是由编历求上元积年的问题引出大衍术这一数学理论。按：大衍术的理论显然比求上元积年的应用重要得多，这又是一个例子，说明作者一再推崇的数学实用体系是个多幺low的东西。

考大衍类其他7问，虽然文字上涉及砌砖、筑堤、粮食买卖、利息计算等领域，但实际上都不是来源于实际生活的实际问题，而是如他所说的：“设为问答，以拟于用。”即是为验证算法而编出来的题问。试看“推计土功”题：

“问：筑堤起四县夫，分给里步皆同齐。阔二丈，里法三百六十步，步法五尺八寸。人夫以物力差定。甲县物力一十三万八千六百贯，乙县物力一十四万六千三百贯，丙县物力一十九二千五百贯，丁县物力一十八四千八百贯。每力七百七十贯，科一名，春程人功平方六十尺。先到县先给。今甲乙二县俱毕，丙县余五十一丈，丁县余一十八丈，不及一日，全功。欲知堤长及四县夫所筑各几何？”

在实际生活中，一定是先设计堤，知道了堤的总长，然后以各县物力为比例分配各县所筑堤长。不可能出现先去筑堤，按筑堤情况反求堤长的。所以这不是由实际中抽出的问题，而是欲用大衍总数术而假设的题问。

这三方面的特点表明，《数书九章》有了进一步的抽象性，其逻辑系统较之《算经十书》有了较大的提高，可以说是刘徽的系统证明思想的进一步发展。

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