金丹篇——黎曼曲率张量之导数无挠

2015-11-13 17:50:29 | 来源：新浪微博 | 投稿：今天晚上我们吃啥 | 编辑：小柯

原标题：金丹篇——黎曼曲率张量之导数无挠

总结一下，到目前为止我们做了一些什幺事情。从人类内心深处最一般的理性出发，我们定义了集合和元素的概念；在集合的基本结构上，我们先构造了拓扑结构，集合就成为了流形；然后我们在流形上构造了微分结构，流形就成了微分流形，which is 我们整个微分几何的主人公；我们在微分流形的任意一个点上，可以定义一个张量空间，而这个张量空间就是这一个点上的一个线性空间。我们在谈论某个点的张量空间的时候，其实是在谈论线性代数，只有当话题延拓到流形上的张量场时，才是微分几何，这一点请读者务必注意。

在筑基篇里，我们已经完全讨论了微分流形中任一点上的张量空间（同时就顺便建立好了整套线性代数），然后从点上的张量空间出发，得到了关于流形上张量场的概念。现在有人要问，对于流形上不同点的张量（也就是张量场在不同点的取值），它们之间有什幺关系呢？这个问题，问的非常好。
现在我们来看一个新的空间FM(k,l)：我们把流形上一个(k,l)型光滑张量场作为元素，全体的(k,l)型光滑张量场就构成了一个集合，这个集合配以张量场的加法和数乘，which在之前已良好定义，就可以成为一个实数域上的线性空间。对于流形上不同点的张量关系，就可以归结到这个新的线性空间的某种结构上去。而这种结构，正是大名鼎鼎的仿射联络。仿射联络是这样一种映射，该映射从FM(k,l)空间到FM(k,l+1)空间，它满足以下五个条件：（1）该映射为线性映射。因为FM是一个线性空间，所以映射本身的线性性自然定义。（2）该映射满足莱布尼茨律。（3）该映射作用于缩并作用可以交换次序。为了照顾行文的通俗性，本大作者没有详细介绍张量间的缩并作用，但并不影响我们的主要内容。此条略过即可。（4）矢量场对函数（00型张量场）的作用，应该等于该映射首先作用于函数，得到的对偶矢量场再与该矢量场缩并。这条要求非常重要，这使得三维欧式空间中的仿射联络直接蜕化为拉普拉斯算符。所以，我们也把仿射联络看做是三维导数算符的推广，称作流形上的导数算符。以下我们把联络统称为流形上的导数算符。（5）两个仿射联络对函数的作用与次序无关，叫做联络具有无挠性。这五条要求中的第五条，其实是广义相对论的要求，并非是数学上的必然。广义相对论要求我们的时空首先是单连通，以及Hausdoff第二可数的，其次是无挠的。一般微分几何中描述空间的几何性质要靠两个量，一个是曲率张量，也是就是这篇金丹篇所要讲的；另一个是挠率张量。曲率张量的效应就是众所周知的万有引力，而挠率张量的效应却更为复杂。如果我们的时空具有挠率，那幺最直接的后果就是等效原理将不再成立。通俗讲，如果时空具有挠率，伽利略的比萨斜塔实验将彻底失败，重物和轻物的下落时间会完全不同，viva la Aristotle！
关于时空挠率，多说两句。（当然作为作者，我想多说多少句，就多说多少句。）第一句，摘自我自己的微博：“自旋的一个令人迷惑的地方在于，它既是粒子的内禀性质，又可以和粒子的轨道运动耦合，有点类似质量和运动的耦合，而后者可在在相对论框架下理解。重要的事情在于，自旋影响了粒子的统计性质，一个众所周知的表现就是元素周期表。”在学习微分几何之前，我就有个猜测，基本粒子的自旋有可能像引力质量一样和时空性质有关系。不久后，我在刘文彪老师的《广义相对论》里看到了这个comment:“近年来的研究表明，描述时空对称性的庞加莱群有两个重要的Casimir算符，一个与质量有关，另一个与自选有关......按照这样的思路，反映曲率与质量关系的爱因斯坦场方程，在描述时空几何与物质的关系上，不能认为是完备的，还应加上反映挠率与自旋关系的杨振宁方程。”这两句话放在这没别的意思，万一将来我出名了呢？对吧。
对于一个微分流形M来说，满足上面五个条件的导数算符（联络）是很多的。从这五点出发，经过一系列精巧美妙的论证，我们发现对于M上两个不同的导数算符来说，它们之间相差一个M上的（1,2）型张量场。现在我们从挑出其中一种比较特殊的导数算符来说说，就是所谓的普通导数算符。什幺是普通导数算符呢？之前说，一个拓扑空间的局部，和同维度的Rn是同胚的，所以可以在拓扑空间的局部建立起一套坐标系，这也就是为什幺我们可以把中国地图画在平面上而不一定非要画在球上。借助于坐标系，我们就可以构造一种特殊的导数算符：该算符作用在一个（k,l）张量上，生成的新的（k，l+1）张量在该坐标系下的的分量就是（k,l）张量对该套坐标的偏导数。而一个任意导数算符与普通导数算符相差的那个（1,2）型张量场，就是在微分几何中有名的克里斯多夫符号。我们看出，克里斯多夫符号的定义一开始就是依赖参考性的，所以，这里会出现一个非常有趣的现象：克里斯多夫符号首先是一个（1,2）型张量场，但是克里斯多夫符号在不同坐标系下分量的变换规则，看上去却不满足张量变化规则。在我们这种现代微分几何讲法中，克里斯多夫符号的这个性质一点也不奇怪。但是在爱因斯坦构建相对论时所用到的那种传统微分几何语言来看，克里斯多夫符号就压根不是一个张量，这也不奇怪。因为在后者中，张量就是被那种坐标变换规则所定义的。我们经常会在传统的微分几何里看到“协变导数”这个名字，其实就是我们在这里讲的与坐标系无关的导数算符。
好，有了导数算符以后，不同点的切矢就可以建立联系了，这也就是把导数算符叫做联络的原因。这种联系的建立，会导致相对论中很多奇观的出现。《星际穿越》很多人觉得很震撼很有趣，正是因为它真实呈现了这些奇观。真实，很多时候比想象更加浪漫。

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