原标题：《中国古代数学思想》读书笔记（5）
《中国古代数学思想》读书笔记（5）
作者：@中科大胡不归
【作者按：《中国古代数学思想》，孙宏安著，大连理工大学出版社2008年4月第一版，编入《数学科学文化理念传播丛书》。上一篇见http://weibo.com/p/1001603893813910308019。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五 的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603890377051472262。】
第二章：数学思想的最初表达。本篇记录此章的第4节。
2.4 算筹和筹算
中国古代使用的计算工具是算筹，利用算筹作计算工具的数学就叫筹算。
1、算筹
又称为筹、策等，有时也称为算子。按：英文的Operator译为算符，又译为算子，原来还有这重意思！
算筹是同一批长短粗细大致一致的小棒，不用时放在算袋或算子筒里，使用时摆在平面上，例如在特制的算板、毡或桌面上。使用算筹的计算过程叫做“运筹”。按：原来运筹学的本源是这个！
算筹的尺寸理论上为“径一分，长六寸”（《汉书·律历志》），但出土文物有较大的变化范围。
公元前5世纪，算筹已经得到广泛使用。《逸周书》、《老子》、《汉书》等都有涉及。出土算筹已经有许多批次。
2、筹算数字和筹式
筹算的核心是十进位值制记数法和分离系数法。
（1）十进位值制记数法
甲骨文中的数字是乘法累数制，虽然是十进的，但是因为用了十、百、千、万等数位文字，所以不是位值制的。筹算数字才是十进位值制的记数法。
位值制是进到高一级单位时不用变换数字符号，而是以不同的位置表示不同的单位。如222，其中第一个2在百位上，表示200；第二个2在十位上，表示20；最后一个2在个位上，表示2。我们现在用的印度—阿拉伯数字，就是十进位值制的数字。
位值制的一个要点是必须有零号，以表示某一位上没有数字，如302、320、3200等。
利用算筹进行计算，就要用算筹摆成数字并利用算筹的摆布操作完成计算。
筹算数字是一种十进位值制数，如下：
系统的筹算数字摆法论述见于《孙子算经》：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵。千十相望，万百相当。”意思是个位、百位、万位等用纵式，十位、千位、十万位等用横式。
数零用空位表示。
（2）分离系数法
分离系数法指的是用算筹的不同位置表示不同的数学意义，叫做筹式。下图的两个筹式分别表示一个三元一次方程组和一个一元二次方程。
不同的位置具有不同的数学意义，与《周易》的卦象不同位置表示不同的意义，以及汉字构型中位置具有识别意义是相通的。这种位置赋以数学意义的方法，使中国古人在没有使用任何数学符号（包括最基本的运算符号和等号）的情况下，取得了许多重要的数学成果，例如正负整数与分数的四则运算和开方。按：那么问题来了，为什么我们不发展数学符号？好比你在用冷兵器对抗枪炮，首要的问题是你为什么没有枪炮，而不是自吹没有枪炮你也能取得多大战果！
“列衰（cui1）”、“方程”诸术描述了常见的比例问题和线性方程组问题。天元、四元及开方诸式刻画了高次方程问题。筹式本身就具有代数符号的性质。纵横图也是在这种思想指导下产生的，因此筹算还是组合数学的源泉之一。
筹算表现为算法的形式，而具有模式化、程序化的特征，使得中国古代数学内容算法化。
3、运筹方法
在《算数书》、《九章算术》等数学著作中，虽然许多著名的术都明确指出了运筹的方法，但是却没有指出基础的运筹方法——例如加减乘除四则运算的运筹方法。可能运筹知识和技能是由教师口头传授的。按：坑爹呀！由此导致珠算代替筹算后，筹算的方法失传，以前的许多数学著作后人看不懂了。
《孙子算经》中用文字给出了四则运算的运筹方法，不过没有实际的例子，很难明白。所以教师教的估计有极大可能是对的。按：古代文明的存续往往建立在十分薄弱的传承基础上，面临一些在现代看来微不足道的困难时就可能失传。
（1）减法的运筹方式
《孙子算经》“鸡兔同笼”题中涉及47 - 35和35 - 12两个连减法，运算如下：
上置35，下置47。
从大数中减去小数，“上3除下4，上5除下7”。按：书中的筹式图略。
下位的12为47 - 35的差。再接着把下位作减数，上位作被减数做减法：“下有1除上3，下有2除上5”，得到的上位23就是35 - 12的结果。
（2）加法的运筹方式
减法的逆运算
（3）乘法的运筹方式
用简单的数学工具（算筹、算盘、笔算等）进行乘法运算，个位数相乘的乘法表是个基础。按：单纯比较计算的方便程度和效率，笔算优于筹算，因为阿拉伯数字是比算筹更简单的符号。这是一个例子，说明符号化在数学中是大势所趋。
在中国，乘法表被称为“九九表”，因为古代这种表是从“九九八十一”起始到“二二如四”结束的，开头两字是“九九”。按文献分析，公元前7世纪熟记九九表已是很普通的技能了。按：这个不错！中文在数字的发音上有巨大的优势（每个个位数都只有一个音节），因此人人都能轻松掌握乘法表。许多外国的普通人算术极烂。英国首相卡梅伦被8乘以9等于多少问得张口结舌，虽然有故意黑他的成分，但确实反映了英国的普遍情况。
关于乘法，《孙子算经》指出了运筹方法。我们用37 × 58来说明。按：略。
（4）除法的筹式运算
关于除法，《孙子算经》中也有运筹方法。用4318 ÷ 17来说明。按：略。
算筹和筹算是数学实用思想的产物。中国古代数学是一种算筹化的数学，是一种具有深刻的算法化思想的数学，关心的是能引起、运用、发展算法的问题。数学问题和数学工具交互为用，通过反馈互相加强。实用思想逐渐成为数学思想的主流。
把筹算数字写下来，就成为算筹记数法，当然这是在纸发明之后的事情了。文献最早见于敦煌发现的唐代《立成算经》，宋元数学著作更是普遍采用。
但是运筹动作和技巧应该是由教师传授的，而不是文献学习能够很好地解决的，因此决定了中国古代对数学教育的重视——为此有的朝代甚至设立了专门的数学专科学校。这也是中国古代重要的数学思想之一——数学教育思想。