原标题：晒腊肉的时候，两头重中间轻能挂得更多

PS：一切条件看作理想状态下的模型

方案一：重量大的挂两段接近支座的位置，中间挂重量小的。对称挂。

方案二：重量大的挂中间，轻的挂两遍。对称挂。

好久都没有看见过这么有意思的问题了。

首先作为分析的基准，不妨先看一下如果猪肉大小都一样，均匀挂在绳子上的情况。为了分析方便，把均匀分布的重量相同的猪肉简化为水平方向的均布荷载 q。

假设支座之间的距离为 2L，因为对称，所以只取一半结构进行分析。这一半索结构的水平长度为 L，竖直高度为 h。显然，索中点的拉力最小，而且因为对称，所以只有水平方向的分力，也就是上图所示的 H。而索拉力最大的地方显然在支座，也就是上图所示的 F。

以索中点为原点，建立 xy 直角坐标系。不管猪肉如何分布，对于任何分布情况的荷载 q，这条绳子在平衡位置时的几何位置都必定满足

如果猪肉均匀分布，那么 q 为常数，求解这个微分方程，再带入原点的边界条件，我们可以得到这条绳子的几何形状的表达式，也就是

对于右侧支座，其坐标为（L,h），均为已知量，代入上面的几何形状表达式，可以得到

变换一下这个式子，我们就能知道索中点位置的拉力

对于这一段绳子，如果假设绳子的自重相对于猪肉总的重量可以忽略不计，那么其实只受三个力：索中点的水平拉力 H、索支座处的支座反力 F 和所有猪肉的总重力 qL。那么支座反力，同时也是最大索拉力的大小就等于

化简一下，最大索拉力就等于

此时索的总长度 S 为

为了更直观的比较，我们不妨假设一些实际的数值，比如绳子的总长度为 1 米，那么 L 就等于 500 毫米，绳子中点下垂的距离为 5 厘米，也就是 h 等于 50 毫米。绳子上总共均匀挂了 100 千克的猪肉，那么 q 就等于 0.1 千克每毫米。

把这些数值代进上面的公式，此时的最大索拉力 F 为 254.95 千克，也就是相当于 2.5 千牛。此时绳子的总长度为 1006.6 毫米。

好，下面我们可以看一下猪肉不均匀分布时候的情况了。现在的外荷载变成了下图这个样子，也就是 q 不再是一个常数，而是一个关于 x 的线性函数，其余的参数均不变。

此时绳子的平衡位置时必定满足

这个微分方程的解变为

注意到如果 k 等于 0，也就是猪肉均布，那么这个式子其实就是上面均布猪肉时的式子。

同样，代入右侧支座的边界条件，可以得到

索中点位置的拉力为

最大索拉力的大小就等于

接下来，我们就可以看几个具体的例子了。

同样还是 100 千克猪肉，现在采用方案二，不是均匀分布了，而是中间最大，两端为 0 。也就是说，q0 等于 0.2 千克每毫米，k 等于负的 0.2 除以 500 等于 -0.0004。带进上面的式子，此时的最大索拉力为 337.06 千克，是上面均匀分布时的 1.32 倍。也就是说，这时候的绳子需要承受 1.32 的拉力，面积也要相应的扩大到原来的 1.32 倍。

如果采用方案一呢，也就是中间为 0，两端最大，此时 q0 等于 0，k 等于正的 0.0004。同样，代进上面的式子，最大索拉力为 174.00 千克，是均匀分布时的 68%，是方案二的 51.6%。

我们不妨定义一个参数 a，a 等于中间的猪肉大小除以两端的猪肉大小，代表猪肉往中间的集中程度。然后我们把这三个方案并排着对比一下：

整体的趋势就是，猪肉越往中间集中，绳子所需要承受的最大拉力就越大，绳子就需要更粗一些；反之，越往两侧集中，绳子的拉力就越小，绳子就可以更细一些。

如果我们保持猪肉的总重量不变，多尝试几种不同的线性分布，对应不同的系数 a，然后再看一下这个系数与最大拉力之间的关系，那么将会是这样的：

图中的黑色圆圈对应的就是我们上面讨论的这几种特殊情况，当 a 等于 0 的时候，中间猪肉为 0，两端最大，此时拉力为 174；a 为 1 的时候，均匀分布，拉力为 256；当 a 非常大的时候，猪肉集中在中间，此时拉力趋近于 337。

不过，以上的分析建立在绳子下垂的距离 h 为定值的基础上，此时绳子的总长度对于不同的猪肉分布情况是个变量，如果绘制出绳子总长度关于这个系数 a 的变化，那么将会是这样的：

绳子两端之间的水平距离为 1000 毫米，随着猪肉逐渐从两端向中间集中，如果假设下垂的距离 h 不变，那么绳子的总长度事实上在发生微小的变化，从 1009 逐渐变化到 1006。

如果绳子的总长度是个定值，而下垂的距离是一个变量，那这问题就复杂了，期待有大神做出解答。

对于一般的结构设计，比如悬索结构，给定的一般是猪肉重量、跨度、高度限制，通过找形确定几何形状，然后给出设计方案。所以通常面对的情况都是 h 给定，而绳子的总长度可以变化。事实上，我们通过上面也可以看到，对于不同的荷载分布，绳子的总长度的变化非常微小。

感兴趣的同学请继续猛戳下面这些链接：

为什么悬索桥的跨越能力如此强？ – 猪小宝的回答

桥梁是不是都是凸起，而没有凹下去的？ – 猪小宝的回答

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